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微积分的基本思想,三重积分在现实生活中的作用

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  • TA的每日心情

    2023-10-9 10:07
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    [LV.3]偶尔看看II

    学币
    发表于 2023-8-26 21:21:16 | 显示全部楼层 |阅读模式
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    为什么我们在现实生活中会需要三重积分。我们要把它分解开来。我们先来分析一下,为什么我们需要积分,然后是二重积分,最后是三重积分。

    如何理解积分

    对于简单的图形,我们有现成的公式来求它们的面积。


    但我们如何求下面图形的面积呢?


    答案是,我们可以使用积分。描这里的积分就可以理解为曲线下面的面积。假设我们想求一条奇怪的曲线下面的面积,它看起来像这样:


    用公式法求这样的面积是很困难的。我们希望用更简单的形状去近似或者代替它,比如矩形,面积公式是长乘以宽。那我们为什么不在曲线下画一堆矩形,求这些矩形的面积,然后把所有的小矩形面积加起来,来近似计算曲线下的面积,就像这样:


    这是个不错的近似值,值为所有绿色矩形的面积之和。

    每个矩形都有相同的宽度,以使计算更容易。宽度等于一个我们称之为Δx的量(概念上,Δx是x的变化)。每个矩形的高度是不同的,但它是由函数f(x)给出的,由图中弯曲的黑线表示。

    为了体现高度是不同的,从左边开始的第一个矩形的高度是f(x),第二个矩形的高度是f(x),以此类推。一般来说,第i个矩形的高度为f(x)。

    矩形的面积是高度乘以宽度,所以其中一个矩形的面积等于f(x)*Δx。如果我们把所有的矩形面积加起来,我们就可以得到曲线下的近似面积。

    但是我们的近似值并不那么精确,我们可以通过增加矩形的数量使近似值更准确,就像这样:


    注意,Δx现在更小了。而且,这个和比上一个更准确。我们可以继续把图形分成越来越小的矩形,使值更加精确。最终,随着矩形的数量接近无穷大(每个矩形的宽度接近0),近似面积越来越接近实际面积。

    这个总和被称为积分。积分就是这样写出来的。


    积分符号∫看起来像一个大的S。当一个叫戈特弗里德-莱布尼茨的德国人发展微积分时,他认为积分是一个无限的和。dx "代表Δx,即每个矩形的宽度,它现在是无限小的。这个 "dx "被称为微分。

    这就是我们如何使用(一重)积分的方法。我们对1个变量进行积分,在这个例子中是x。当沿着x轴移动时,我们取一堆无限小的长方形的总和。宽度越小,近似值就越精确。

    如何理解双重积分

    对于二维图形我们求的是面积,对于三维图形我们求的是体积。像以前一样,我们对一些三维图形的体积有漂亮、整齐的公式。


    但要求这些三维图形的体积就难多了。


    我们应该如何求出这些奇怪形状的体积呢?为了求出体积,我们将使用双重积分工具。比方说,我想求出这个面包的体积。


    我们可以从近似的体积开始。我们可以先把这个大块的面包沿着Y轴分成很多片。


    每一片都有相同的宽度,我们把这个宽度称为Δy。如果我们把所有片的体积加起来,就可以得到这个面包的大致体积。当我们把面包分成越来越薄的片时(Δy越来越接近于0),面包体积的近似值会越来越精确。

    所以我们只需将所有面包片的体积相加即可。唯一的问题是,计算一个面包片的体积并不那么容易。如果我们看一下单个的面包片,你会发现它本身还是一种奇怪的形状。


    我们需要对这块面包片的面积进行近似计算,我们可以通过把它分成一堆矩形来实现。换句话说,为了求出一片面包的面积,我们必须像上面那样进行一重积分。


    我们在X轴上进行积分,把小矩形加起来。然后,回到面包上,我们在Y轴上积分,把所有面包片的体积加起来。

    从本质上讲,要求出面包的体积,我们要求积分的积分:我们求面包片的和,每个面包片本身是矩形的和。当然,"积分的积分 "写起来很麻烦,所以我们就叫它双重积分,我们这样写:


    这就是二重积分(双重积分)。这是什么意思?

    “dy ”是面包片的宽度,"dx "是面包片中矩形的宽度。f(x,y)指的是面包的“顶部”。这是因为面包在某一点的高度(又称z坐标)是该点的x坐标和y坐标的函数,所以它是f(x,y)。

    如何理解三重积分

    到了本文的重点:三重积分。我们已经讲过了一重积分和二重积分。希望大家能明白为什么这些东西会有用处:虽然这不是它们的唯一用途,但它们可以帮助我们求出不规则的二维和三维图形的面积和体积

    你可能会猜到,这里有一个规律,是这样的:

    通过一维积分,我们在一个维度上进行积分,得到到一个二维图形的面积。
    用二重积分,我们在两个维度上进行积分,得到一个三维形状的体积。
    用三重积分,我们在三个维度上进行积分,以得到到......一个四维形状的体积?
    你是对的! 三重积分是用来求一个四维形状的体积的。这听起来不可能。你可能会说:"我们并不生活在四维空间,四维形状不存在"。我可以解释三重积分在现实世界中是如何使用的。要明白这一点,我们需要改变我们对维度的思考方式。

    一张照片里有多少个维度?

    让我们回到二重积分的话题上来。你见过热成像吗是用热像仪拍摄的照片,不同的颜色代表不同的温度。


    照片是二维的,但热成像照片上的每个点都有一个与之相关的 "热量"。由于热量是用数值表示的,我们可说,热成像照片上的每一个点都有一个与之相关的数字。


    从右边的图例可以看出,蓝色斑点的热值可能是 "15",而较红的斑点的热值可能是 "28"。我们甚至可以把这张照片变成三维图,其中高度(z坐标)与热量相对应。


    那么,这里有一个问题:我如何求出这整张照片的总热量?答案是我们用二重积分。我们在x轴和y轴上积分,然后把整个照片的温度加起来。总热量等于上面三维图的体积。

    这似乎令人困惑,因为这张照片是二维的,而如前所述,双积分是用来求三维形状的体积的。但我们需要改变对 "维度 "的思考方式。我们通常认为维度是空间维度。然而,一个 "维度 "实际上只是指与一个点相关的数值。一个维度不一定是空间中的一个方向。

    现实世界中的三重积分

    回到三重积分的话题。比方说,你有一间形状像盒子的卧室。暖气口可能只在房间的一个角落,所以热量并没有均匀地分布在整个房间。温度在通风口附近会很高,在与通风口相对的角落会很低,以此类推。房间里任何一个点的热量都由某个函数f(x,y,z)给出。

    如果我想把房间里的所有热量加起来,我该怎么做?

    很明显,房间里有三个空间维度。但同样,温度也算作一个维度,因为它是一个与点相关的数字。所以这个问题发生在4个维度上:宽度、长度、高度和温度。

    由于有4个维度,我们将使用三重积分。

    让我们先把房间可视化。这就是一个三维房间的热量图。


    如前所述,如果你看这个房间,温度是盒子内一个点的x、y和z坐标的函数。这个函数是f(x,y,z)。

    我们将从Z轴上的积分开始,把盒子分成许多平行于地面的“切片”。


    乍看起来,我好像把房间分成了一堆二维的切片,但请记住,温度也是一个维度。我实际上是把房间切成了一堆二维的温度图。而正如我们所讨论的,二维温度图有三个维度。


    接下来,我们要对y积分,把热图分成许多小片,就像我们对面包做的那样:


    最后,我们将把每一个切片沿着X轴划分成许多小矩形。


    这样,我们可以准确地把这个房间里的所有热量加起来。我们沿Z轴将房间分成热图,然后沿Y轴将热图分成片状,再沿X轴将片状分成矩形。我们把这称为三重积分。它是这样写的:


    “dz” 是z的变化,"dy "是y的变化,而 "dx "是x的变化。

    使用这个三重积分,我们可以求出3维房间里的总热量。如果一个 "维度 "可以指空间维度以外的东西,我们就会发现三重积分有很多应用。我们可以求出一些三维物体的总惯性,或者篮球的引力。

    结论

    简而言之。就数学而言,一个维度不一定是指空间。它可以指任何数值,如温度、惯性、或湿度。

    在一重积分中,我们对一个变量进行积分,以求得一个二维图形的面积。
    在二重分中,我们通过对两个变量的积分来求得一个三维形状的体积。
    在三重积分中,我们对3个变量进行积分,以求得一个四维图形的体积。
    所以,我们用三重积分来寻找四维图形的体积,这乍听起来没什么用。但是,只要我们转变一下对 "维度 "的思考方式,就会发现四维图形比看起来更常见。三重积分帮助我们认识和理解这些形状。

    [发帖际遇]: Evu阿牛 在论坛发帖时没有注意,被小偷偷去了 3 学币. 幸运榜 / 衰神榜
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