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魔方染色问题研究

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发表于 2020-6-17 17:29:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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魔方染色问题研究
【跨考考研】管综教研室梁轶群
染色问题是我们排列组合中的一个题型,如果给几种颜色来填涂所给的图形,且要求相邻的区域颜色不能相同,这样的问题我们称之为颜色问题。简单的“依次型”区域的染色问题相信大家已经掌握,因为不需要做太多的考虑,只要保证后面的区域涂色和前面的一个或两个不同即可,不需要进行专项训练也可以做对。而“环形”区域的染色问题虽然复杂一点,但是借助公式,我相信很多同学也能很快做对。今天我们要探讨的问题是相对来说更加复杂的一种染色问题——正方体染色问题,也叫魔方染色问题。
题的表述很简单,用六种不同的颜色给魔方的六个面涂色,要求相邻区域不同色,一共有多少种不同的涂法?
因为一个面相邻四个面,我们很容易分析出最少需要三种颜色,然后我们再依次算出四种颜色、五种颜色和六种颜色分别有几种情况,加和汇总。
(1)用三种颜色涂色。在6种颜色选取3种,有种情况,然后相同颜色只能放在对面,所以只有一种顺序,。
(2)用四种颜色涂色。在6种颜色选取4种,有种情况,我们在4种颜色中选出两种作为魔方中只涂一个面的颜色,其他两个颜色各涂两个面,有种选择,而同色的面只能放在对面,所以只有一种顺序,。
(3)用五种颜色涂色。在6种颜色选取5种,有种情况,在五种中选一种涂两个面有C(5,1)=5种选择,剩下的四种颜色做一个环形排列(所谓环形排列就是n个人站成一个圈的排序情况,环形排列和排成一排不同,圈是没有排头的,先选出一个人当排头,剩下的人就可以按照排成一排的思想来解决了,也就是说n个人的环形排列就相当于n-1个人站成一排,用字母来表示就是n个人的环形排列就相当于n-1个人站一排。根据排列组合公式,n-1个人站一排的排列方式有(n-1)!种情况),有种顺序,又因为相同颜色的两个面可以翻转,所以是不考虑顺逆时针的环形排列,还要除2,有3种顺序,。
(4)用六种颜色涂色。这就不存在选色的问题了。我们选择一种颜色固定在底部,使其不能纵向旋转,再给顶部一个颜色种情况,中间仍然是环形排列种顺序,。如果觉得上面的情况不好理解,也可以从五种颜色的情况的入手,把五种颜色涂那两个面的那个颜色换成新的颜色,有种情况,。
综上所述,用六个颜色给魔方涂色,颜色不必都用到,相邻区域不能同色的情况下,一共有20+90+90+30=230种方法。

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